把“第一位的运气”平均掉
X₁ 和 S/n 都能无偏估计 p。先预测：已知 4 次试验一共成功 2 次时，逐个查看所有排列，X₁ 会变化吗？它们的平均值又是多少？
原估计量 X₁
条件平均 S/n
两图都描述重复抽样分布，横轴是估计值，纵轴是概率。虚线标出共同均值 p；带边框的柱标出当前纤维对应的取值。
- Var(X₁)
- Var(S/n)
- 平均消除的条件方差
在同一条纤维里换一个排列
减少的是哪一部分不确定性？
E(X₁ | S) = S/n
Var(X₁) = Var[E(X₁ | S)] + E[Var(X₁ | S)]
p(1−p) = p(1−p)/n + p(1−p)(1−1/n)
同一条纤维内，只换成功的位置就可能让 X₁ 从 0 跳到 1；但 S/n 完全不变。用条件平均替换 X₁，消除了已知 S 后仍然存在的排列噪声。纤维之间的总数波动仍然存在，所以方差通常只是变小，并没有降为 0。
不要混淆两种方差：在某条固定纤维 S=s 内，Var(X₁ | S=s) = (s/n)(1−s/n)；把不同纤维按它们的抽样概率平均后，才得到图上被消除的 p(1−p)(1−1/n)。两者一般不同。