矩估计的边界 · Uniform(0, θ)
算出的区间，居然装不下已看到的数据？
三个观测是 1、1、20。矩估计给出 θ̂ = 2X̄。先预测：区间 [0, θ̂] 能否覆盖全部观测？向左拖动第三个点，找出冲突刚好消失的位置。
圆点可拖动，也可用下方滑块和数值框调整。橙色矩估计区间之外的点以叉号强调；这不是“小概率异常”，而是候选模型的零密度区域。
数据先划定参数的可行区间
| 检查项 | 当前结果 | 它回答的问题 |
|---|
两个方法解决的是不同约束
均匀模型的均值为 θ/2，所以矩估计解方程 X̄ = θ/2，得到 θ̂矩 = 2X̄。它只利用均值条件，求解时没有强制检查每个观测都在候选区间内。
这里采用闭区间端点约定：f(x;θ) = 1/θ，当 0 ≤ x ≤ θ；否则为 0。于是只有 θ ≥ max(xᵢ) 才有非零似然。在可行区域内，似然 θ−n 随 θ 增大而下降，所以最大似然估计为 θ̂MLE = max(xᵢ)。
大数定律仍保证：若数据来自固定的 Uniform(0,θ)，则 2X̄ → θ，因此矩估计一致。“长期接近真值”与“当前参数容得下所有数据”是两项不同性质，前者不能替代后者。端点开闭不会改变连续分布概率，但写似然与讨论最大值时必须说明采用的密度版本。
把第三个点设为 4：矩估计恰好等于最大观测。再略微增大它，先前满足的均值方程仍能求解，但支持条件立即失败。这一步就是每次矩估计之后应补做的模型检查。