矩估计 · Gamma 分布

只对齐均值，分布就确定了吗？

先看实线分布和下方的数据刻度。把均值保持为 4、改变分布形状，第一条矩条件还能发现区别吗？再让第二条条件加入判断。

曲线：候选 Gamma 密度短竖线：观测数据点线：经验均值

正数观测值

用逗号、空格或换行分隔；2–50 个正数，每个不超过 100。

形状 k尺度 θ

把两个矩条件同时摆上桌

矩条件	经验值	候选模型值	差值：模型−经验

两条横轴各自以该经验矩为 1 归一化；靶线表示完全匹配。第一矩与第二矩的单位不同，不能直接比较它们的原始大小。

采用形状–尺度参数化：E[X] = kθ，E[X²] = k(k+1)θ²。先由第一条条件得到 θ = m₁/k，再代入第二条条件，就能把两个未知数变成一个。

这里 m₁ = (Σxᵢ)/n，m₂ = (Σxᵢ²)/n，经验中心二阶矩为 v = m₂−m₁²。矩估计使用的是分母 n 的 v，不能悄悄换成分母 n−1 的无偏样本方差。

矩匹配只保证指定的矩相等，不保证每个数据点附近的密度、偏态或尾部都拟合得好。数据全相同时 v = 0，不存在同时匹配这两个矩的有限正形状–尺度参数。

再试“更分散”和“更集中”：这两个操作保持候选模型的均值等于经验均值，第二矩却会变化。第二条方程正是在剔除这些同均值、不同离散程度的候选。