一致性 · 重复抽样

谁会随着样本增多稳稳靠近真值？

先预测：X̄ + 1/n 虽然有偏，能追上 X̄ 吗？只用 X₁ 的估计，在数据越来越多时会发生什么？纵轴统计的是“误差超过 ε”的概率。

实线：样本均值 X̄虚线：只用 X₁点线：X̄ + 1/n

线是正态分布给出的理论概率，圆点是每个样本量下 4,000 次独立重复样本的模拟比例。横轴每前进一步，n 加倍。

查看样本量 n = 161 至 1,024，按倍数增长容许误差 ε总体标准差 σ

n = 16：理论与抽样波动分开看

估计量	理论超界概率	模拟比例	模拟标准误

误差走廊：每行画同一批重复样本中的前 30 个估计误差，阴影带为 [−ε, ε]；叉号表示落在带外。单个点落在带内，不能证明估计量一致。

设 Xᵢ 独立同分布于 N(μ, σ²)。图中令 μ = 0 方便画误差；下面的结论对任意 μ 都相同。X̄−μ 的标准差是 σ/√n，X₁−μ 的标准差始终是 σ。X̄+1/n−μ 的中心虽偏右 1/n，但偏差和标准差都趋于 0。

P(|T−μ| > ε) = Φ((−ε−b)/s) + 1 − Φ((ε−b)/s)

其中 b 是偏差，s 是估计误差的标准差，Φ 为标准正态分布函数。

一致性要求：对每一个固定 ε > 0，超界概率随 n → ∞ 趋于 0。有限图像可以提供直觉，结论还要由上面的分布公式证明。X̄+1/n 的超界概率不必在每个有限 n 都比 X̄ 小；两者仍都一致。