估计量的风险 · 正态模型
把估计拉向 0，真的更准吗？
先预测：当真实均值从 1 变为 5，同样的“减半”操作还会有优势吗？图中的竖线是真值，曲线表示反复抽样得到的估计值。
实线：样本均值 X̄虚线：收缩估计 aX̄点线：真实均值 μ
把总误差拆开看
MSE(aX̄) = （偏差²） + （方差） =
| 估计量 | 偏差 | 标准差 | MSE |
|---|
这个模型里发生了什么？
设 X₁,…,Xₙ 独立同分布于 N(μ,σ²)，σ > 0。样本均值的中心在 μ，标准差为 σ/√n；乘以 a 后，中心移到 aμ，标准差缩为 aσ/√n。
偏差 = (a−1)μ；方差 = a²σ²/n。
“有偏”只描述中心有没有对准真值。“更准”需要先指定损失与参数值。这里以平方误差评价；同一个 a 不会自动在所有 μ 上胜出。a = 0 时分布退化为 0 处的点质量，图中用箭头表示，不再是一条正态密度曲线。
最后把 n 增大：样本均值的方差持续下降，而固定 a < 1、μ ≠ 0 时，收缩偏差不会自行消失。