数理统计 I · 残差几何实验
均值一旦由数据决定，哪个方向被用掉了？
先拖动任意一个观测点。预测：样本均值改变后，只有这个点的残差会变化，还是全部残差都会变化？再观察残差和是否离开 0。
圆点：观测值；竖线：到样本均值的残差实横线：样本均值 x̄虚横线：已知 μ
拖动圆点改变数值，或使用下方数值框 / 滑块。所有操作可用键盘完成；观测范围为 −10 至 10。
样本均值 x̄
全部残差之和
残差平方和 RSS
残差空间维数
最后一个残差，已经没有选择余地
用掉的那个方向去了哪里？
Σ(xᵢ − μ)² = Σ(xᵢ − x̄)² + n(x̄ − μ)²
| 计算方式 | 本次结果 | 重复抽样期望 |
|---|---|---|
| 围绕已知 μ，除以 n | σ² | |
| 围绕 x̄，除以 n | (n−1)σ²/n | |
| 围绕 x̄，除以 n−1 | σ² |
平方和恒等式对任何数据都成立。上表期望结论需要独立同分布且均值 μ、方差 σ² 有限；进一步得到 RSS/σ² ~ χ²(n−1) 及均值与样本方差独立，则需要正态模型。“无偏”描述重复抽样平均，不要求本次结果等于真实方差。