第 16 章 · 三重积分：空间区域中的累积

密度函数怎样拉动质心

在长方体区域 R: 0≤x≤2, 0≤y≤1, 0≤z≤1 中，密度为 ρ(x,y,z)=1+a x+b z。调节 a 与 b，观察质量 M 和质心 (x̄, ȳ, z̄) 怎样由三重积分实时给出。

调节密度梯度

1.2

a 越大，靠近 x=2 的右前侧密度越高。

1.0

b 越大，靠近 z=1 的上层密度越高。

实时积分结果

总质量 M -
质心 x̄ -
质心 ȳ -
质心 z̄ -

正在计算质心位置。

等距长方体中的质心

彩色采样点越大、越暖，表示局部密度越高。

几何中心 当前质心
长方体区域中的密度采样与质心位置 长方体内显示密度采样点、几何中心、当前质心和质心移动方向。 质心 x 侧更重 上层更重 质心位移放大图 +x +z Δx=0, Δz=0

公式区：由三重积分定义质量与质心

M = ∭R ρ(x,y,z) dV
x̄ = 1/M ∭R xρ(x,y,z) dV
ȳ = 1/M ∭R yρ(x,y,z) dV
z̄ = 1/M ∭R zρ(x,y,z) dV
M = 2 + 2a + b = -
x̄ = (2 + 8a/3 + b) / M = -
ȳ = 1/2 = 0.500
z̄ = (1 + a + 2b/3) / M = -

由于密度与 y 无关，质心的 y 坐标始终停在中线 y=0.5；a 与 b 只会改变 x 与 z 方向的加权平均位置。