泛函分析 I · 章节 01
Cauchy 序列与完备性观察
桥接实验
从 Q 走向 R
从 Q 走向 R
我们用同一串有理数，逼近同一个目标：√2。每一次把含有 √2 的区间二分，留下仍然含有它的那一半；你会看到，点越来越挤在一起，误差越来越小。真正的分歧不在计算，而在“极限属于哪个空间”。
同一列点，两种空间
q₀ = 3/2 · qₙ₊₁ 由区间二分得到
历次有理逼近 qₙ
当前项
√2（R 中的点）
逐步增加精度
拖动滑块，或用方向键逐次推进。每一项都保留为精确分数。
当前项 qₙ3/2
十进制值1.5000000000
与 √2 的误差8.578644e-2
当前套区间[1, 2]
第 0 步：从 [1, 2] 取中点 3/2。可以开始收紧区间。
已达到的误差界
预测提示
在继续之前，猜一猜：当点在数轴上越来越靠近 √2 时，Q 轴上的“终点”会是什么？注意，Q 不是“没有点”，而是只收录有理数。
操作
按“增加一步”，或把滑块调到某个步数。观察分子、分母和套区间如何变化；再用“退一步”对照误差界刚刚被跨过的位置。
观察
每一个 qₙ 都是有理数，序列的项在 Q 中；它们彼此越来越近，却不会在 Q 中落到一个极限。R 轴多出的金色点正是这个缺口。
解释：这里的“完备”到底补上了什么？
二分过程产生的是 Cauchy 序列：给定任意精度，往后取足够多的项，项与项之间都会小于这份精度。它在实数空间 R 中收敛到 √2；但 √2∉Q，所以把同一序列看作 Q 中的序列时，Q 内没有可作为极限的点。R 的完备性意味着：每个实数 Cauchy 序列都能在 R 内找到极限。这里不是“点消失了”，而是空间 Q 还没有包含那个必要的点。