概率论 I · 离散随机变量与常见离散分布

有放回 / 无放回抽样对比器

固定总体规模 N、成功数 K 与抽样数 n，比较 有放回近似的 Binomial(n, p=K/N) 和 无放回精确的 Hypergeometric(N,K,n)。

XB ~ Binomial(n,p)，E(XB)=np，Var(XB)=np(1-p)

XH ~ Hypergeometric(N,K,n)，Var(XH)=np(1-p)(N-n)/(N-1)

PMF 同轴对比

横轴为成功次数 x。

蓝：Binomial 橙：Hypergeometric

有放回近似 · Binomial

独立重复试验

均值
6.0000
方差
4.2000

每次抽取后放回，总体比例不变，试验可视为独立同分布的伯努利序列。

无放回精确 · Hypergeometric

有限总体修正

均值
6.0000
方差
3.1899

无放回会让样本之间产生负相关，方差乘上 (N-n)/(N-1)。

建模判断

什么时候能近似？

抽样比例 n/N
0.2500
修正因子
0.7595

总体很大且抽样比例小时，两者接近；抽样比例大时方差差别明显。

建模要点：二项分布把每次抽取看作概率固定且相互独立；超几何分布保留“有限总体、不放回”的结构。 当 n/N 变大时，超几何方差会被有限总体修正因子压低，柱状图通常更集中。