ℤ[√−5] · 用整数格点追查因子

范数为 2 或 3 的元素在哪里？

写 s=√−5。元素 a+bs 对应整数点 (a,b)，范数就是 N(a+bs)=a²+5b²。橙色点恰好落在目标椭圆上。

找齐 a²+5b²=N 的整数解

在 1 到 100 之间观察变化

候选整数点恰好满足目标空心圆：当前选择

(a+bs)(c+ds)
= (ac−5bd)+(ad+bc)s

单位只能是 ±1：逆元使两个正整数范数相乘为 1，而 a²+5b²=1 只有 (±1,0)。所以 u、v 相伴恰好意味着 v=u 或 v=−u。

相伴必有相同范数；范数相同却不一定相伴。例如 1+s 与 1−s 的范数都是 6，但它们不是彼此的正负号。

若 a²+5b²=N，两项都非负，因而 |a|≤√N、|b|≤√(N/5)。图上的搜索逐个检查这两个界限内的所有整数点；更远的点至少有一项超过 N，不可能遗漏解。椭圆内的点也不算解，必须恰好满足等式。

当 N=2 或 3 时，b≠0 会使范数至少为 5；b=0 又要求 a² 等于 2 或 3，都不可能。这条论证覆盖整个无限整数格点。