整数里的理想 · 从余数追到来源
6 为什么能写成 −84 + 3 × 30？
把一条带余除法链走完，再沿着等式往回找。每个余数都保留了原来两个数的整数线性组合。
做一次带余除法
沿等式回代
每个非零余数的来源
为什么每一步都保住了同一个理想？
若 d 同时整除 x 和 y，那么 d 整除 r=x−qy；反过来，若 d 同时整除 y 和 r，那么 d 整除 x=qy+r。因此两对数拥有完全相同的公因子。最后余数变成 0，理想便成为 (g,0)=(g)。回代又说明 g 确实由 a、b 的整数线性组合得到。
把“所有线性组合”看作映射 φ: ℤ² → ℤ，φ(u,v)=ua+vb 的像：这里看到的正是 im φ=(a,b)=(g)。φ 是加法群同态，也是 ℤ-模同态。