一次对称，固定了多少幅染色？

四个顶点各选一种颜色，先把顶点编号保留下来。旋转或反射后，颜色随原顶点搬到目标位置。我们要数的是整幅染色的轨道，颜色名称始终不交换。

固定位置：1 右上、2 左上、3 左下、4 右下。图外的数字是位置编号；圆中的字是颜色。r = (1 2 3 4) 为逆时针 90°，s = (1 2)(3 4) 为竖直轴反射。

当前染色 c

选择操作 g

    沿着每个顶点循环读颜色

    包括长度为 1 的循环。每个循环都同色，整幅染色才被这次操作固定。

    这幅染色能到达哪些不同结果

    每幅只列一次

    轨道大小

    稳定子大小

    轨道装的是染色，稳定子装的是固定当前染色的操作。到达同一幅的操作归在一起，不会增加新的轨道成员。

    逐个操作，数它固定的全部染色

    Burnside 固定染色计数，含全部群元素及顶点一循环
    操作顶点循环循环数固定染色数

    当前操作固定的染色

    全部轨道，各取一幅代表

    平均的是固定染色数，得到的是轨道数

    一对“操作 g 与染色 c”被计入，当且仅当 g 固定 c。按操作数，得到表格最后一列的和；按染色数，同一幅出现的次数就是它的稳定子大小。

    在同一个轨道里，稳定子大小相同。于是每个轨道贡献 |轨道| × |稳定子| = |G| 对。把全部固定配对数除以 |G|，就得到轨道个数；这没有假设每个轨道本身都一样大。

    染色采用左作用 (g·c)(v) = c(g⁻¹v)。目标位置 v 的颜色来自原来的 g⁻¹v；等价地，原位置 u 的颜色搬到 gu。这里的逆元用来保持复合次序，不能把方向换掉。