陪集代表元 · 同样的输入块

换一个代表，答案还是同一块吗？

固定两个左陪集，各选一个代表元，在原群里相乘，再找乘积所属的陪集。如果只换代表元就换了输出块，这条规则便没有给两个块确定一个答案。

拟定规则：(aH)(bH) ↦ abH。
始终按右侧先作用；r=(1 2 3 4)，s=(1 2)(3 4)。

选取 D₄ 的子群 H

默认保持 H 与 rH 两个输入块不变，比较 e·r 与 s·r。

先把全部左陪集列清楚

第一输入块 A

第二输入块 B

a ∈ Ab ∈ B

a′ ∈ Ab′ ∈ B

穷举表中，青色边框标出第一组代表元；浅琥珀底色标出第二组。计算始终是 a·b，没有交换因子。

选取表格中的一格，再在上方任意替换代表元。格中记号都表示整块陪集。

这里仍然有合法的左陪集划分。但子群不正规，候选规则会在某些输入块上依赖代表元，因此不显示所谓“商群乘法表”。即使某一对输入块恰好只有一个输出，也不能推出其他输入块同样稳定。

把代表元换成 a′=ah₁、b′=bh₂ 后，不交换任何因子，就有

a′b′ = ah₁bh₂ = ab(b⁻¹h₁b)h₂。

如果 H 正规，b⁻¹h₁b 仍在 H，后面的改变量便全部留在 H 中，输出块不变。上面的有限枚举检查 D₄ 这个实例；这项共轭条件说明一般群里为何成立。