同一个子群，从哪边乘进去？

把正方形的八种对称分成小块。固定子群 H，再让 h 走遍 H：代表元放在左边得到 gH，放在右边得到 Hg。两块的元素数量一样，成员也一定一样吗？

子群 H

H = {e, s}

|H| = 2；每侧共有 4 块

代表元 g：换起点会清空当前计算，已加入的划分仍保留。更换子群会清空两侧划分。

右边先作用。r = (1 2 3 4) 为逆时针 90°；s = (1 2)(3 4) 为竖直轴反射。

位置固定为：1 右上、2 左上、3 左下、4 右下。方形中的数字是原来的顶点标签，随变换移动。下方列表把每个标签的去向完整写出；“?” 表示那一步尚未执行。

左陪集 rH

代表元 g 在左：对每个 h，先做 h，再做 g。

当前 h已算 0 / 2 项

标签：原位 → 右端作用后 → 左端作用后

左陪集逐项运算结果
h	乘积 gh	结果

代表元 g 在右：对每个 h，先做 g，再做 h。

当前 h已算 0 / 2 项

标签：原位 → 右端作用后 → 左端作用后

右陪集逐项运算结果
h	乘积 hg	结果

把左右两侧算完，再比较成员与交集。

“相等或不交”要固定同一侧：两个左陪集之间成立，两个右陪集之间也成立。一个左陪集和一个右陪集相比较，可以只重合一部分。

这里把当前左陪集 gH 当作输入。取 a = g，再从同一块里选 b；必有 aH = bH。现在检查两种把左陪集送到右陪集的规则。

a = r另一个代表元 b

对整块逐个取逆，(ah)⁻¹ = h⁻¹a⁻¹。因为 h⁻¹ 仍走遍 H，得到的就是 Ha⁻¹。再取逆又回到原块，因此左右陪集族之间存在双射。两边块数相同，依据是这条可逆的规则，不是同一个代表元总给出同一块。