平移一块，再看它落在哪里
在模 12 的加法里，把子群 H 中的每个数加上同一个起点。取 1 和取 5，会到达两块不同的集合吗？用余数盘把这件事算清楚。
每次加 4，回到 0 时停下：0 → 4 → 8 → 0。
ℤ₁₂
加法，模 12
选一个起点
0 / 3 项已平移
原子群 H（点下有标记）已平移到的数
从生成元得到子群
H = ⟨4⟩ = {0, 4, 8}
起点 0：构造 0 + H
在余数盘上选代表元 r。每按一次“平移下一项”，就计算一个 r + h（mod n）。
0 + H：尚未平移
当前起点是 0。先逐项计算，或用“加入这块”一次完成当前陪集并放入划分。
把整个群分成互不重叠的块
已放入 0 块，覆盖 0 / 12 个元素
加入过的陪集会留在下方。选到同一块里的另一个数时，观察它的名字怎样变，元素又怎样不变。
尚未放入陪集。取起点 0，就会得到 H 本身。
每块的大小 3
全部块数 4
[ℤ₁₂ : H] = 12 / 3 = gcd(12, 4) = 4
把观察接回原理
在默认例子里，1 + H = {1, 5, 9}，5 + H 也一样。因为 5 − 1 = 4 ∈ H，加上这段差只会在 H 内部轮换。代表元是一个起点，不是陪集的唯一名字。
平移不会丢掉元素：从 r + h₁ = r + h₂ 减去 r，就得到 h₁ = h₂。而 r + H 中的每个元素本来都来自某个 h，所以每块都与 H 等大。对子群的两个陪集，只要有一个公共元素，它们就完全相同；这里不会出现只重合一部分的两块。
试把 a 改为 0：H 只剩 {0}，每个数各占一块。再把 a 改为 1：H 就是整个群，只剩一块。一般地，令 d = gcd(n, a)，H 恰好由模 n 的 d 的倍数组成，因而 |H| = n / d，指数等于 d。盘上的计算展示了结论；其中“恰好由所有 d 的倍数组成”的理由，需要用正文里的整除论证补上。