抽象代数 I · 循环群的全部子群

交集在下，生成的子群在上

在 ℤₙ 中，记 H_d = ⟨d⟩，其中 d ∣ n。步长参数越受整除限制，得到的子群越小：H_d ⊆ H_e 恰好意味着 e ∣ d。

模数 n甲：H_d乙：H_e

显示全部共同下层子群显示全部共同上层子群

沿包含关系向上读

上端是全群，下端是 {0}。连线只连接相邻的包含关系：两端之间没有第三个子群。

甲 / 乙选中的子群∩交集∨生成的子群

每条边向上走，子群的阶都会增大。同层节点的阶未必相同；图的层次按包含结构排列，每个节点另列出自己的阶。

它必须同时留在甲、乙内部。任何共同下层子群都包含在这个交集中。

它包含甲、乙，也包含合并运算后必须补入的结果；所有共同上层子群都包含它。

这里列出了当前循环群的全部子群。Hₙ = ⟨n⟩ = ⟨0⟩ = {0}；记号中的 n 不是一个新增余数。

这张有限图用来核对例子。一般结论来自循环群的子群分类、子群判据与 Bézout 等式。共同下层中的“最大”和共同上层中的“最小”，比较的是集合包含关系。