操作次序实验 · 仿射变换

同一个输入，走两条路径

把倍率和平移交给两个操作。两条路使用同一对函数，区别只在于谁先作用。

本课约定：右边先做。 AB = A ∘ B 的执行顺序是 B → A；BA 的顺序是 A → B。
A(x) = ax + b
B(x) = cx + d
同一个起点

倍率范围 −4 到 4，且不能为 0；平移范围 −6 到 6；输入范围 −5 到 5。允许小数。填好后应用，才会改变当前实验。

当前使用 A(x) = 2x、B(x) = x + 3、x = 1。

AB：先 B，后 A

    沿原路撤销

    BA：先 A，后 B

      沿原路撤销

      两种次序什么时候相同？

      合成公式直接比较函数本身。两条路的斜率都为 ac，差别只能出现在常数项。

      AB − BA = (ad + b) − (cb + d)
      = (a − 1)d − (c − 1)b

      当前输入的输出

      整个函数的比较

      一般交换条件：(a − 1)d = (c − 1)b。若相等，两种复合对所有实数输入都相同；若不相等，换一个输入也不能消除这个常数差。

      对一般函数，在一个输入上输出相同，不能推出函数相同。此处还用了“两条仿射函数斜率已经相同”这个额外事实。页面用有限精度数值计算；极小差值只报告“数值上无法区分”，不把近似相等当作恒等证明。