点集拓扑 · Urysohn 构造的一个模型

看它第一次进入哪一层

在 X=[0,1] 上，让开集 Uᵣ=[0,0.3+0.4r) 随 r 向右伸展。固定一个点 x，记录它在哪些层里出现；下确界给出的读数，可能并不在这些层里取到。

观察点 x = 二进层级 n =

青色实线：f；橙色横段：gₙ。阶梯的跳跃处不画成函数的竖直线；当前横段用实心左端、空心右端标出归属。

无限层的下确界 f(x)

当前有限层读数 gₙ(x)

把实际成员关系列出来

f(x)=inf({r:x∈Uᵣ}∪{1})

=max(0,min(1,(x−0.3)/0.4))

这里 r 取 [0,1] 中所有二进有理数。对 x=0.5，进入条件是 r>0.5；r=0.5 那一层的右端点恰好是 x，却没有把 x 包含进去。所以 f(0.5)=0.5 是下确界，不能说是最小的进入层。

有限层只有 r=k/2ⁿ。n=2 时，0.5 后面的下一层是 0.75，于是 g₂(0.5)=0.75。提高 n，橙色阶梯靠近青色曲线，但每个有限 n 的阶梯仍可能不连续。

C=[0,0.2] 被 U₀ 包含，D=[0.7,1] 与 U₁ 不相交，并且 U₁=X∖D。

r<s ⇒ cl(Uᵣ)=[0,0.3+0.4r] ⊂ Uₛ

右端点在闭包里补上后，仍留在下一层更大的开集内部。这份余量是构造连续函数时真正用到的条件。当前模型能直接写出 f，并且在 C 上取 0、在 D 上取 1。

一般 Urysohn 引理还要在正规空间中递归构造这些开集，再证明所得函数连续。眼前这个线段模型帮助我们读懂构造，并不代替一般证明。