测度论 · Lᵖ 空间
尖峰很高，Lᵖ 范数一定很大吗？
在 [0,1] 上，把函数压成一段矩形。高度和宽度同时变化时，只看最高点常常会猜错。
f(x)=a·1[0,w)(x)。w=0 时支集为空；端点取值不影响 Lebesgue 积分。
∫ |f|ᵖ
‖f‖2
移动 n 或按按钮，会同时设定 a=n、w=1/n。
只改一个点
勾选后，橙色点标出新取值。图中纵轴会放大到 100；旁边矩形看起来变矮，是坐标尺度变了。
sup |f|
ess sup |f|
把“高”与“重”分开
1 ≤ p < ∞：‖f‖ₚ=|a| w¹⁄ᵖ
有限 p 会同时衡量高度和支集大小。p 越大，宽度的缓冲作用越弱；当 w>0 时，p→∞ 的极限是 |a|。
‖f‖∞=ess sup |f|
本质上确界允许忽略零测集。空支集给出零函数，所有范数都是 0，不能把 w=0 代进“‖f‖∞=|a|”那条只对正宽度成立的公式。
先猜：尖峰会往哪里走？
对 fₙ=n·1[0,1/n)，当 n 增大时，L¹ 与 L² 范数有什么不同？
几乎处处趋于 0，为什么 L¹ 范数不趋于 0？
固定 x>0，n 足够大后 x 就落到支集外，因此 fₙ(x)=0。只有 x=0 一直留在尖峰里，这是零测集。可是每个尖峰的积分都是 n·(1/n)=1，质量没有消失，只是集中到越来越窄的区间。
这说明几乎处处收敛并不自动推出 L¹ 收敛。若想使用支配收敛定理，还得找到一位对所有 n 都有效的可积“上界”；本例做不到。