测度论 · Hölder 不等式
谁把乘积的积分托住了？
把空间缩成四个点，每个点仍有自己的测度。拖动两组函数值，看看乘积总量怎样接近那个由范数组成的上界。
每行对应一个点。青色条表示 f，橙色条表示 g；向左的条是负值，右侧列出对应的函数值。
Σ μᵢ |fᵢgᵢ|
‖f‖ₚ ‖g‖q
调整四个点的测度 μᵢ
权重始终严格为正；它们不必相加为 1。默认每个点的测度为 1/4。
逐点 Young，累加成 Hölder
实色条是左侧贡献，橙色空框是逐点上界；空余部分就是这一点留下的差额。
逐点账本
| 点 | μᵢuᵢvᵢ | Young 上界 | 差额 |
|---|
等号是怎样构造的？
当 1<p<∞ 且 f 非零时，取 gᵢ=|fᵢ|p−1。共轭关系 (p−1)q=p 使 |gᵢ|q=|fᵢ|p。归一化以后，Young 的等号条件 uᵢp=vᵢq在每个点都成立。
p=1 时单独处理：取所有 gᵢ=1，于是 ‖g‖∞=1，Σμᵢ|fᵢgᵢ|=‖f‖₁。若 f 为零，两侧已经都是 0，不需要除以范数。
这里比较的是 Σμᵢ|fᵢgᵢ|。若你改为 |Σμᵢfᵢgᵢ|，还要考虑正负项相互抵消，不能把两个表达式混同。
把直觉放到一个具体例子上
取 p=q=2，f=(2,1,0,0)，四个权重都是 1/4。哪一个 g 能让 Hölder 取等号？