点集拓扑 · 分离公理
把两个点分开，需要哪些开集？
先给 X={a,b,c} 选好开集。开集太少时，某些点会被迫一起出现；下面逐对核查，找出到底是哪一步分不开。
核对这对点的邻域
T₀ 只需一个开集把两点区别开；T₁ 需要双向排除；T₂ 还要求两点的开邻域互不相交。
换成无限集：整数上的余有限拓扑
现在全集是整个 ℤ。取 U=ℤ∖F、V=ℤ∖G，其中 F、G 都有限。屏幕上只画一小段整数，右侧还有无限多个点。
空心点表示被排除，实心点表示保留。数轴右端的箭头提醒你：这张图没有画完整个 ℤ。
对不同整数 p、q，ℤ∖{q} 包含 p 并排除 q，反过来也能做到，所以这是 T₁ 空间。但任意两个非空余有限开集仍有公共整数，无法给 p、q 找到不交开邻域，因此不是 T₂。
为什么三点实验里找不到 T₁ 但非 T₂ 的拓扑？
在有限空间中，若满足 T₁，每个单点集都闭。固定 x，把所有其他点的补集做有限交，就得到开集 {x}。每个单点都开，空间只能是离散的，因而也满足 T₂。
上面的余有限例子依赖 ℤ 是无限集。若把全集真的改成有限集，“余有限”会允许每个子集都是开集，得到的恰好是离散拓扑。