第 6 章 · 连通未必道路连通

靠近竖段，振荡没有变小

S 由曲线 y = sin(1/x)，0 < x ≤ 1，加上整条 {0} × [−1,1] 组成。缩小横向窗口，看看能不能把上下两种高度一起压到某个 y₀ 附近。

窗口 δ 0.1

候选高度 y₀ 0

把 y₀ 调到哪里才够

允许 y₀ 在 [−1,1] 内移动，能让这两个点到 y₀ 的竖直距离都小于 1 吗？作答后仍可拖动 y₀ 核对。

仅仅发现 t ↦ (t, sin(1/t)) 在 t = 0 没有极限，还不能排除其他走法。真正要补上的是介值论证：假设一条路径从竖段走到曲线上，取其第一坐标为正的一个参数区间，左端点处第一坐标为 0。再靠近这个端点，第一坐标也必须经过任意足够小的正横坐标。

具体地，在靠近该端点的一个参数时刻取正横坐标 a。选 k 足够大，使 x₊、x₋ 都小于 a；第一坐标的介值性质迫使路径在更早的参数时刻经过这两个横坐标。相应第二坐标只能分别为 1、−1。让这些时刻逼近同一个端点，第二坐标不可能连续。这一步把“曲线振荡”接到了“任意候选路径”上。

图像 G = {(x, sin(1/x)) : 0 < x ≤ 1} 是连通区间 (0,1] 的连续像，因而连通。S 正是 G 的闭包，连通集的闭包仍连通。这个结论来自定理；屏幕上的有限折线、像素或者灰色尾部，都不承担证明。