有限阿贝尔群的加法
同样有 16 个元素，能走出同样长的循环吗？
选定一个元素 g，每次从当前位置加上 g。第一次回到 0 用了几步，就是 g 的阶。把两边一起推进，看看哪边先回来。
A 的加法轨道
B 的加法轨道
每个圆点都是一个群元素；圆周位置只是排版，没有距离含义。连线表示“加上 g”。实心点已经到过，粗边框标出当前位置。二元组省略括号写在圆点内。
逐个统计元素的阶
每个群的全部元素都从 0 开始反复相加，得到下面的计数。横条共用同一个刻度；右端数字是精确个数。
把模 12 的同一个周期拆开看
选一对余数 (x mod 4, y mod 3)。上方会切换到 ℤ/12ℤ 与 ℤ/4ℤ × ℤ/3ℤ，并选中对应元素。两边各加一次时，对应关系仍然成立。
选余数对 (x,y)
每行固定 y，x 从 0 到 3。
或选模 12 的余数
向另一边映射，就是分别取余。
9 在模 4 下为 1、模 3 下为 0；4 的两个余数恰好相反。因此 [9x+4y]₁₂ 还原了这对余数。互素使这里的对应成立；把模 4 拆成两个模 2，就没有同样的结论。
只看群的总元素数，等于只保留了行列式的绝对值。元素阶能揭示更多结构：若一边存在阶为 16 的元素、另一边的元素阶最多为 4，这两个群就不可能同构。