复分析 I · 平均值性质与最大模

平均的是向量，还是长度？

圆周上的函数值是 w 平面中的一圈复向量。把它们相加再取模，与先取每个向量的长度再平均，通常得到不同的数。

m_N = (1/N) Σ f(c + Re^itⱼ)
|m_N| ≤ (1/N) Σ |f(c + Re^itⱼ)|

函数 f(z)

Re c（±2.2）

Im c（±2.2）

半径 R（0.05 至 2）

采样数 N

z 平面中的圆

|z − c| = R

圆周采样圆心 c

拖动圆心，或聚焦图形后用方向键移动。1/z 的极点在原点；检查它是在圆内、圆外，还是边界上。

w = f(z) · 自适应比例

边界映像数值均值 mₙf(c)

数值圆周均值 mₙ—

中心函数值 f(c)—

圆周均值的理论值—

均值的模 |mₙ|—

模的平均 (1/N) Σ |f|—

均值数值误差—相对于圆周积分的理论值

边界采样最大模—仅比较 N 个采样点

边界精确最大模——

均值性质的条件—闭圆盘附近全纯

取 f(z) = z²、c = 0、R = 1，边界上的 w 绕单位圆两周。向量平均为 0，但每个向量的模都是 1。所以“平均值的模”与“模的平均”不能互换。常函数 1 的向量方向和长度都相同，两边才同时等于 1。

边界采样最大模只是有限个数的最大值，不是全局证明。这里的边界精确最大模由函数表达式直接计算；最大模原理还要求函数在圆盘内全纯并连续到边界。

对 1/z，若圆盘含原点，函数在内部有极点。圆周均值可以为 0，却不能说它等于 f(c)；c = 0 时连 f(c) 都没有定义。