复分析 I · CAUCHY 积分公式

从单位圆重建一个值

圆周上给定 f(z) = z² + 0.3z。把观察点 a 向边界移动，看每份带核权重的贡献怎样合成积分；越接近边界，同样的采样数越可能不够。

I_N(a) = (1/N) Σ f(z_j) z_j / (z_j − a)
z_j = e^2πi(j+½)/N，j = 0,…,N−1

Re a（−2.2 至 2.2）

Im a（−2.2 至 2.2）

采样数 N

固定边界，移动 a

z 平面 · 逆时针采样

边界采样点观察点 a

拖动橙点，或聚焦图形后用方向键移动。输入框可精确指定位置；Shift 加方向键步长为 0.1。

积分值平面 · 自适应比例

累计终点 Iₙ积分理论值

离散积分 Iₙ(a)—

积分理论值—

绝对误差 |Iₙ − I|—

函数值 f(a)—

到单位圆的距离—

离散贡献中最大模—含每项的 1/N 权重

当 |a| < 1，Cauchy 公式给出 I(a) = f(a)。a = 0.5 时，理论值是 0.25 + 0.15 = 0.4。当 |a| > 1，被积函数在闭圆盘附近全纯，积分为 0；a = 2 时不会恢复 f(2) = 4.6。

把 a 设为 0.999，分别用 N = 16、128、1024。核 1/(z − a) 在近处变化很陡，有限采样会漏掉尖峰。误差改善来自增加采样；图上的理论标记没有参与数值求和。

|a| = 1 时普通公式不适用。即使 a 恰好落在两个采样点之间，也不能把“没有除零”当成合法积分。