测度论与 Lebesgue 积分 I · 非负函数积分

同一个高度，不必来自同一段区间

φ = Σ cⱼ 1Aⱼ　　∫ φ dμ = Σ cⱼ μ(Aⱼ)

同一高度用同一颜色。两块隔开的地段，也能作为同一个集合 Aⱼ 来计量。
积分记录：
高度 cⱼ集合 Aⱼ测度 μ(Aⱼ)贡献
相加得到

按下任意一行的高度，可在图中找到它的整块原像。

相加的是测度，不是位置

我把第 1、3 段设成相同高度，是想把一个容易忽略的地方摆出来：积分公式不要求 Aⱼ 连通。只要这些集合互不相交，合并后的测度就是原来两份测度之和。

c μ(A ∪ B) = c μ(A) + c μ(B)

打开权重后，底下的小条会显示各段的密度 w。现在 μ(A) = ∫A w(x) dx。几何宽度相同的两段，可以有不同测度；图上面积此时不能直接当成 ∫φ dμ。

这里始终使用互不相交的半开区间，最右段包含 4。权重是非负分段常数，所以单点仍然具有零测度。

拆开记账，会多算一份吗

把两个不相连、但高度相同的集合合并成一行，积分会怎样？

再试一个更细的判断：如果某段权重为 0，那么把那段的高度调大，∫φ dμ 也不会变。不是函数没变，而是 μ 在那里不给质量。