测度论与 Lebesgue 积分 I · 非负函数积分

同一块面积，横着切一次

f(x) = x²，0 ≤ x ≤ 1　　m{x : f(x) > t} = 1 − √t（0 ≤ t ≤ 1）

浅蓝区域是原来的面积。水平矩形从底部往上铺；橙色线标出当前阈值 t。
原函数 x²水平下和矩形当前水平截面
把左图每层的宽度记成新函数 g(t) = 1 − √t。绿色矩形的面积总量与上图已经铺好的层完全一致。

顶部窄，底部宽

拿 t = 0.36 这一层来看：x² > 0.36 等价于 x > 0.6。所以截面从 0.6 延伸到 1，长度是 0.4。这里求的是定义域里那一段的长度，不是曲线的弧长。

LN = (1/N) Σk=1…N (1 − √(k/N))

UN = (1/N) Σk=0…N−1 (1 − √(k/N))

因为 g 随 t 递减，每层顶部给出较小宽度，底部给出较大宽度。两种和都对应真实的矩形包夹。

这个实验让你看见“换一个方向累加”的几何含义。有限次拖动和数值靠近还不是一般层蛋糕公式的证明；一般非负可测函数的结论，需要简单函数逼近与收敛定理等工具。

不用猜小数，先看包夹宽度

把 N 加倍，上和与下和之差 UN − LN 会怎么变？

这里 UN − LN = [g(0) − g(1)]/N = 1/N。这是上下和之间的差，不是每一种近似各自的精确误差。