点集拓扑 I · 商拓扑

圆上没有裂口，区间上却有两个端点

q(t) = (cos 2πt, sin 2πt)，t ∈ [0,1]，q(0) = q(1)

绿色是当前候选集合的像。蓝点是 q(t)；沿圆拖动它，或聚焦后按左右方向键移动。

前两行画 A 与 q⁻¹(q(A))；第三行放大 1 附近的 (1−ε,1]。实心表示包含，空心表示排除。

多补一个点，还不够

[0,0.1) 在区间 [0,1] 中是相对开集，但它包含 0，却没有包含与 0 属于同一纤维的 1。因此它不是某个圆上集合的完整逆像。

把 1 补进去，得到 [0,0.1) ∪ {1}，纤维问题解决了，开放性问题却留下来了：在 1 附近，无论邻域多小，都有小于 1 的点；这些点没有被补进来。

真正包含接缝点的圆上开弧，拉回区间后会同时抓住 0 附近和 1 附近。比如环距小于 0.1 的弧，其逆像是 [0,0.1) ∪ (0.9,1]。

判断 q(A) 开不开，要检查 q⁻¹(q(A)) 是否相对开。A 已经饱和时，这才简化成检查 A。两个条件不能替彼此完成工作。