复分析 I · ML 估计实验

上半圆变大，积分怎样变？

路径长了，函数模也可能小了。把这两个变化放在一起看：|∫ f(z) dz| ≤ M × L。拖动半径，比较估计的上界与积分的精确模。

上半圆路径

半径R的上半圆正向从R走到−R，顶部箭头向左；反向时从−R走到R，顶部箭头向右。

半径大于 1.67 后视窗随 R 放大；坐标始终等比例，半径数值标在图中。

精确模与上界

横、纵轴均为对数刻度
精确积分模与ML随半径变化实线表示精确积分模，虚线表示ML上界。当前半径由竖线和两个圆点标记。
实线：精确模 |I|虚线：上界 ML

把 M 与 L 分开看

M = R⁻²曲线上 |f| 的上界
L = πR半圆弧长，不是直径
ML = π/R积分模的上界
精确积分 I（保留方向）

ML 估计（与方向无关）

理论：半径带来两个因子

反向走使 dz 的方向反转，所以 I 变号；曲线长度 L、函数模上界 M 和 |I| 都保持不变。

数值：这里算的是什么

图中每个值都由精确公式求出，曲线沿 R 的对数刻度取样。界面把结果四舍五入至 6 位，不使用数值积分来判断极限。

滑块采用对数刻度，使 0.1 附近也容易调整；输入框可直接输入半径。对数图中“平线”“向下”“向上”分别对应常数、衰减与增长，纵轴上的相同距离表示相同倍数。

所有路径都满足 R>0，因此分母不为零。这里只讨论给定的上半圆族；一般曲线仍需重新检查定义域、方向和弧长。