复分析 I · 路径积分实验
同端点，不同路径
起点固定为 1，终点固定为 −1。换一个被积函数，观察路径形状怎样进入积分；右图画的是积分累加出的复数，坐标含义与左图不同。
实线：上半圆虚线：下半圆点划线：折线
路径 z(s)
复平面 · 起点 1 → 终点 −1拖动紫色顶点，或按方向键每次移动 0.05。坐标范围 −2.2 至 2.2。
累计积分 I(s)
积分值平面 · 两轴按同一比例缩放上半圆I(1.00) ≈ 3.141593iz(1.00) ≈ −1
走完整条路径，再比较
| 路径 | 精确结果 | 小数显示 |
|---|---|---|
| 上半圆 | ||
| 下半圆 | ||
| 折线 |
理论：先检查定义域
上半圆参数是 z=eit，t 从 0 到 π；下半圆的 t 从 0 到 −π。两条路都从 1 出发，顶部的上半圆箭头向左。
计算：轨迹怎样画出来
图形沿参数取样，再用公式计算累计值；表格中的小数四舍五入至 6 位。折线的两段各占一半参数区间，因此 s 不是弧长比例。曲线取样和连线只帮助观察，不代替理论证明。
对 1/z 与 1/z²，先检查每一条边到原点的最短距离。经过原点时拒绝计算；距离小于 10⁻⁸ 时也暂停计算并提示数值保护。z² 在原点有定义，不受这条限制。