点集拓扑 I · 连续映射

目标里的开区间，拉回来还开吗

橙色带始终是目标空间中的开区间。沿函数图像找回对应的 x，再看看每个被留下的点，能不能带上自己的一小段邻域。

橙色虚线是被排除的目标端点。绿色曲线片段对应逆像；实心、空心端点保留精确含义。

第一行画完整逆像在当前视窗中的部分，第二行画 (x₀−δ,x₀+δ)。点击数轴移动 x₀；聚焦后左右方向键也可移动。

零点最容易被一笔带过

取 V = (0,2)。平方函数的逆像要满足 0 < x² < 2，所以 0 必须被挖掉；留下的是 (−√2,0) ∪ (0,√2)。这两个区间仍然都是开集。

把左端点移到负数，0 的函数值就落在目标开区间里，两段逆像会在中间连起来。改变的是条件本身，不是画图时把空心圆涂满的习惯。

对平方函数，邻域太大当然可能跑出逆像；只要中心已经在逆像中，就能继续缩小半径。阶跃函数在 V = (0.5,1.5) 时不同：逆像是 [0,∞)，它在 ℝ 中不开。

在 x₀ = 0，任意 δ > 0 都带进点 −δ/2。这个点仍在邻域里，却被 H 送到 0，落在 V 外。这条对每个 δ 都成立的反例，才说明 0 处出了问题。