测度论 · Carathéodory 分割账本
切开测试集，账单有没有增加？
把 E 当成一把尺子：它从 T 中切出 T ∩ E，余下 T ∖ E。拖动灰色 E 条或圆形端点，留意下面两段长度怎样此消彼长。
四行图，共用同一把刻度尺
在 E 内的部分在 E 外的部分切割集 E
m*(T)
=m*(T ∩ E)
+m*(T ∖ E)
自动得到的方向
m*(T) ≤ m*(T ∩ E) + m*(T ∖ E)
T 总是这两部分的并。外测度的次可加性已经给出“≤”，这里不需要假定 E 可测。
仅仅确认两部分互不相交，还不能把“≤”直接写成等号；外测度并没有对任意不交集合承诺可加性。
可测性需要补上的方向
m*(T) ≥ m*(T ∩ E) + m*(T ∖ E)
要证明 E 可测，需要对每个测试集 T ⊆ ℝ证明这一边。配上次可加性，等式才完整成立。
图中 E 是闭区间，它确实 Lebesgue 可测；有限区间实验帮助你看懂分割，不足以验证定义中的“每个 T”。
这次实验究竟说明了多少？
把 T 改了很多次，等式总成立。哪一个判断能由这些有限实验支持？
选择判断，再核对其中有没有把有限例子换成“所有集合”。
定义检查的是 E 这把“切割尺”是否对任何集合都不多收费。若只检查区间，范围就被缩小了；要用一个较小的测试族代替任意 T，必须另有定理并满足它的条件。不能把眼前这些算对的例子当作那个定理。