复分析 I / 邻域、极限与连续
自己选一次 delta
f(z) = z²，z₀ = 1，f(z₀) = 1
误差 ε 已经给定，输入圆盘该收多小？拖动一个点看它的像，再用统一估计判断整个开圆盘。点看起来合格，还不能代替证明。
输出要求：|z² − 1| < ε。范围 0.02 至 2。
输入条件：|z − 1| < δ。范围 0.001 至 1.5。
- 边界最大误差 / 开圆盘上确界
- 充分半径 min(1, ε/3)
- 精确最大容许半径 √(1 + ε) − 1
输入：围绕 1 的开圆盘
拖动红点。键盘聚焦图后用方向键移动，Home 回中心，End 靠近右端；点始终留在圆盘内部。
|z − 1| = δ（边界不包含）当前样本
输出：这个圆盘的像
两图各用自己的比例尺。蓝色填充是输入圆盘的像；绿色圈内才是允许误差范围。
输入圆盘的像|w − 1| = εw = z²
同一个点的两端
这一个点是否合格
给所有点同一个上界
令 r = |z − 1|。三角不等式并没有挑选方向：
|z² − 1| = |z − 1| |z + 1|
≤ r(2 + r) < δ(2 + δ)
最后的严格不等式来自 r < δ。若再要求 δ ≤ 1，便有 |z + 1| < 3；取 δ = min(1, ε/3)，就得到 |z² − 1| < 3δ ≤ ε。
这是一条充分条件。它让证明短而清楚，不必把 δ 取得尽可能大。
边界恰好相等，内部仍然严格
在闭圆盘上，z = 1 + δ 取到最大误差 δ(2 + δ)；这个点不在我们使用的开圆盘里。因此精确条件是：
δ(2 + δ) ≤ ε
等价于 δ ≤ √(1 + ε) − 1
等号可以保留：边界误差为 ε，内部每一点的误差仍严格小于 ε。若 δ 超过这个界，取实数 r 介于 √(1 + ε) − 1 和 δ 之间，则 z = 1 + r 已是内部反例。
把数值代回不等式
ε = 0.3，δ = 0.1：边界最大误差 0.21，整个开圆盘满足要求。
ε = 0.3，δ = 0.2：边界最大误差 0.44，开圆盘内部已有不合格点。
ε = 1，δ = √2 − 1：边界误差等于 1，开圆盘内部仍严格小于 1。