测度论 · 长度账本
重叠的长度，究竟算了几次？
A = [a, b]
B = [c, d]
A / 并集B / 交集被算了两次
拖动 A、B 行的圆形端点，或用上方滑块微调。
μ(A)+μ(B)=μ(A ∪ B)+μ(A ∩ B)
先预测，再移动端点
保持 A 不动，把 B 缩进 A 里面。μ(A ∪ B) 会跟着 μ(B) 变小吗？试着只移动 c、d，再查看解释。
只要 B 仍被 A 包含，并集就一直是 A。B 缩小时，交集 B 和 μ(B) 同步缩小，等式两边仍然平衡。
每次新增的一小段，互不重叠
Eₙ = (0, 1 − 1/n)，n ≥ 1；E₁ = ∅。把增长量记为 Dₖ = Eₖ ∖ Eₖ₋₁（k ≥ 2）。
把有限块拼起来
D₂、…、Dₙ 两两不交，有限可加性给出这一步的等式。
查看其中一块
极限不是某一次有限拼接。
⋃ₙEₙ = (0, 1)，μ(Eₙ) = 1 − 1/n → 1 = μ((0, 1))。从下连续性在这里把有限长度的极限与可数并的测度联系起来。
⋃ₙEₙ = (0, 1)，μ(Eₙ) = 1 − 1/n → 1 = μ((0, 1))。从下连续性在这里把有限长度的极限与可数并的测度联系起来。
先预测，再把 n 拉大
余下的长度趋近 0，是否意味着某个有限 n 已经拼成 (0, 1)？
不是。每个有限 n 都还缺 [1 − 1/n, 1)，长度恰为 1/n。但对任意固定的 x ∈ (0, 1)，总能选到足够大的 n，使 x < 1 − 1/n。于是可数并恰好是 (0, 1)，端点 1 始终不属于它。